Matematicas: 2011

jueves, 16 de junio de 2011

ecuaciones de primer grado

Ecuación de primer grado simple
Una ecuación es una igualdad que sólo se verifica para unos valores concretos de una variable, generalmente llamada x.

Resolver una ecuación consiste en hallar los valores de la variable que hacen cierta la igualdad.
Recuerda:
Si un elemento está sumando en un miembro pasa al otro restando. Si está restando pasa sumado.
Si un número multiplica a todos los elementos de un miembro pasa al otro dividiendo y si los divise pasa multipllicando.

ECUACIONES DE SEGUNDO GRADO
1º ) Son las del tipo: a·x² + b·x + c = 0 2º ) Si c = 0 , entonces se hace: x·(a·x + b) = 0 y las soluciones son: x=0 y x= - b/a. 3º ) Si b = 0 , entonces a·x² + c = 0 de donde x² = - c/a. Haciendo la raíz cuadrada en ambos lados se obtiene las soluciones. _________ -b ± √(b² - 4·a·c) x = -------------------------------- 2·a
Nº	ECUACIÓN	SOLUCIONES
1	x·(x - 1) = 0	x = 0 , x = 1
2	x² - 2x = 0	x = 0 , x = 2
3	x² - 4·x = 0	x = 0, x = 4
4	4·x² - 16 = 0	x = 2, x = -2
5	4·x² + 16 = 0	no tiene solución en R
6	2·x² - 8 = 0	x = 2, x = -2
7	2·x² + 4·x = 0	x = 0, x = -2
8	x² - 5·x + 6 = 0	x = 2, x = 3
9	x² + x - 6 = 0	x = 2, x = -3
10	2·x² + 2·x - 12 = 0	x = 2, x = -3
11	- 2·x² - 2·x + 4 = 0	x = 1, x = -2
12	3·x² - 9·x - 12 = 0	x = 4, x = -1
13	x² + x + 1 = 0	no tiene solución en R
14	x² + 5·x + 6 = 0	x = -2, x = -3
15	2·x² + 10·x + 12 = 0	x = -2, x = -3
16	x² - 2·x - 3 = 0	x = -1, x = 3
17	- x² + 2·x + 3 = 0	x = -1, x = 3
18	x² - 6·x + 5 = 0	x = 5, x = 1
19	x² + x - 12 = 0	x = 3, x = -4
x² + 2·x - 3 = 0 => (x + 1)² -1 - 3 = 0 => (x + 1)² - 4 = 0 (x + 1)² = 4 => (x + 1) = ± 2 => x = -1 ± 2 => x = 1 y x = -3

jueves, 9 de junio de 2011

Potenciación

La potenciación es una expresión matemática que incluye dos términos denominados: base a y exponente n.

Se escribe aⁿ, y se lee: «a elevado a n». Su definición varía según el conjunto numérico al que pertenezca el e.

$a^n = \underbrace{a \times \cdots \times a}_n,$

Por ejemplo: $2^4 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 = 16$ .

cuando el exponente es un número entero negativo, equivale a la fracción inversa de la base pero con exponente positivo.

$a^{-p}= \frac{1}{a^p}$

cuando el exponente es una fracción irreducible n/m, equivale a una raíz:

$a^{\frac{n}{m}} = \sqrt[m]{a^n}$

Cualquier número elevado a 0 equivale a 1, excepto el caso particular de

00

que, en principio, no está definido (ver cero).

Potencia de exponente 0

Un número (distinto de 0) elevado al exponente 0 da como resultado la unidad (1), puesto que: $1 = \frac {a^n} {a^n} = a^{n-n} = a^0\,$

Potencia de exponente 1

Toda potencia de exponente 1 es igual a la base:

$a^1 = a \,$

Ejemplo:

$54^1=54 \,$

Potencia de exponente negativo

Un número elevado a un exponente negativo, es igual al inverso de la misma expresión pero con exponente positivo:

$a^{-n} = a^{0-n} = \frac {a^0}{a^n} = \frac {1}{a^n}\,$

Multiplicación de potencias de igual base

El producto de dos o más potencias de igual base es igual a la base elevada a la suma de los correspondientes exponentes (la misma base y se suman los exponentes):

$a^m \cdot a^n = a^{m + n}$

Ejemplos:

$9^3 \cdot 9^2 = 9^{3+2}= 9^5$

División de potencias de igual base

La división de dos potencias de igual base es igual a la base elevada a la resta de los exponentes respectivos:

$\frac{a^m}{a^n} = a^{m - n}$

Ejemplo:

$\frac{9^5}{9^3} = 9^{5-3}= 9^2$

Potencia de un producto

La potencia de un producto es igual al producto de los factores elevados cada uno al exponente de dicha potencia. Es decir, una potencia de base a.b y de exponente n, es igual al factor a elevado a n, multiplicado por el factor b también elevado a n:

$(a \cdot b)^n=a^n \cdot b^n$